量子化予想に関して

arxiv:1010.4242で述べた量子化予想についてです。

昨日arxivに投稿された、Geiss-Leclerc-Schroerによるarxiv:1104.0531で、
量子クラスター構造の存在に関する部分は、対称型の場合にはめでたく証明されました。
残るは、クラスター単項式と双対標準基底の整合性に関する予想になります。

こちらは、クラスター構造に比べて、圧倒的に難しいと思っています。

なお、すこしremarkですが、arxiv:1104.0531のLemma 11.4は、q=1への特殊化を使わずにも一般に証明できます。
すなわち、initial seedが整合的なfamilyであることから直接一次独立であることがわかります。
また、Corollary 12.4については、直接、arxiv.1010.4242のProposition 6.3と柏原先生のDemazure crystalに関する結晶基底の結果を使うことで、証明することができます。

おそらく(quantum) T-systemなどの証明は、対称化可能でもできると思いますが、最後に、全射性で、かれらのdual semicanonical basisに関する結果(arxiv:1001.3545)を用いる必要があると思われるので、いまのところ一般の対称化可能の場合に証明できるかどうかはまったく分かりません。Demonetのarxiv:0909.1633で、その部分がカバーできているかどうかは知りません。

追記:
と調べずに書いてしまいましたが、おそらく、0909.1633v1のTheorem 4.50で十分のような気がする。
qべきの計算がすこし面倒かもしれないが、やればできるような気がする。

追記2:
結局、このような量子群てきなものに、量子クラスター代数構造を入れるためには、
1) 初期種(initial seed)の単項式の一次独立性
2) 適切なA-formの元での特殊化におけるクラスター構造
3) 生成元を初期種からクラスター変換で得るための特別な変異の列(T-system)の存在
があれば、十分であることがわかったわけだ。

追記3:
0909.1633では、adaptable element対してにだけ証明されている。
一応2010versionのGLSで、一般化する必要がある。
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